Ошибки в геометрических задачах
Нетвердое знание основных теорем геометрии приводит к существенным ошибкам в решении задач. Например, радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, ошибочно определяют по формуле, полученной для равностороннего треугольника; поверхность неправильной пирамиды ошибочно находят по формуле правильной пирамиды и т. д.
Кроме того, некоторые учащиеся ошибочно полагают, что:
L В любом выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, а противоположные углы в сумме составляют 180⁰.
L Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его медиан.
L Биссектриса угла, заключенного между основанием и боковой стороной равнобедренного треугольника, является медианой.
L Биссектрисы в равнобедренном треугольнике делятся в точке их пересечения в отношении 1:2.
L Радиус шара, вписанного в пирамиду, равен одной трети ее высоты.
L Радиус, проведенный в точку касания шара, вписанного в пирамиду, параллелен основанию пирамиды.
L Площадь боковой поверхности любой призмы равна произведению периметра основания на ее высоту или, что тоже, вообще говоря, ошибочно, длину бокового ребра.
При решении задач на пирамиду, забывают или не используют следующие полезные факты:
J В пирамиде, боковые ребра которой образуют равные углы с ее основанием:
— все боковые ребра равны;
— около основания можно описать окружность;
— высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания;
— боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.
J В пирамиде, боковые грани которой образуют равные углы с ее основанием:
— все высоты боковых граней равны;
— в основание можно вписать окружность;
— высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание;
— высоты боковых граней образуют с высотой пирамиды равные углы;
— боковые грани образуют с высотой пирамиды равные углы.
Типичной ошибкой является неправильное понимание условия задачи. Так, например, многие ошибочно полагают следующее:
L Угол между боковым ребром и плоскостью основания наклонного параллелепипеда – это угол, составленный боковым ребром и стороной основания.
L Линейный угол двугранного угла, образованного боковой гранью и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, – это угол между боковым ребром и диагональю основания.
L Угол между радиусом шара, описанного около правильной четырехугольной призмы, и ее боковой гранью – это угол, образованный радиусом шара и боковым ребром призмы, в случае, когда радиус шара проведен в вершину призмы.
L Угол между скрещивающимися диагоналями двух граней куба – это угол между одной из диагоналей и проекцией другой на грань, в которой лежит первая диагональ.
L Расстояние от центра основания правильной четырехугольной пирамиды до боковой грани – это расстояние от центра основания до стороны квадрата, лежащего в основании.
L Расстояние от центра основания правильной четырехугольной пирамиды до бокового ребра – это расстояние, равное половине диагонали основания.
В процессе решения задачи линейные и угловые величины, которые не являются данными задачи, учащиеся нередко сами обозначают буквами х, у, α, β и т. д., что вполне допустимо и часто полезно для решения задачи. Но за тем забывают об этом, и окончательный ответ выражают через них, оставляя, таким образом, задачу нерешенной.
К серьезным ошибкам в решении задач приводят недостаточно развитые пространственные представления. Так, многие учащиеся
L ошибочно считают, что телом, полученным в результате вращения треугольника вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно противоположной стороне, является цилиндр;
L не могут изобразить угол, образованный диагональю прямоугольного параллелепипеда с его боковой гранью;
L неправильно изображают линейный угол двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями треугольной пирамиды или наклонной призмы.
Довольно часто в письменных работах учащиеся не приводят объяснения к чертежу, не всегда обосновывают шаги и этапы решения, опускают исследование полученного решения задачи.
Чертежи к задачам часто строятся небрежно, без соблюдения правил параллельного проектирования.
Смотрите также:
Ошибки в тождественных преобразованиях
Ошибки в упражнениях с параметрами
Ошибки в упражнениях о функциях
Ошибки в упражнениях из начал анализа
