Арифметическая и геометрическая прогрессии
Числовые последовательности (основные понятия)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Числовые последовательности (основные понятия)
Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:
a1, a2, a3, . . . , an, . . . .
Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Из двух соседних членов an и an+1 последовательности член an+1 называют последующим (по отношению к an), а an — предыдущим (по отношению к an+1).
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.
► Например,
последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой
an = 2n –1,
а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой
bn = (–1)n+1. ◄
Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.
► Например,
если a1 = 1, а an+1 = an + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a1 = 1,
a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Если а1 = 1, а2 = 1, an+2 = an + an+1, то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:
a1 = 1,
a2 = 1,
a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2,
a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3,
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5,
a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8,
a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последовательности могут быть конечными и бесконечными.
Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.
► Например,
последовательность двузначных натуральных чисел:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
конечная.
Последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
бесконечная. ◄
Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.
Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.
► Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;
1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность. ◄
Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью.
Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.
Иначе,
a1, a2, a3, . . . , an, . . .
является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
an+1 = an + d,
где d — некоторое число.
Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:
а2 – a1 = а3 – a2 = . . . = an+1 – an = d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
► Например,
если a1 = 3, d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a1 =3,
a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7,
a3 = a2 + d = 7 + 4 = 11,
a4 = a3 + d = 11 + 4 = 15,
a5 = a4 + d = 15 + 4 = 19. ◄
Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:
an = a1 + (n – 1)d.
► Например,
найдём тридцатый член арифметической прогрессии
1, 4, 7, 10, . . .
Имеем,
a1 =1, d = 3,
a30 = a1 + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88. ◄
Так как
an–1 = a1 + (n – 2)d,
an = a1 + (n – 1)d,
an+1 = a1 + nd,
то, очевидно,
| an = |
an–1 + an+1 |
| 2 |
то есть,
каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.
► Например,
докажем, что последовательность, которая задаётся формулой an = 2n – 7, является арифметической прогрессией.
Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
an = 2n – 7,
an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,
an+1 = 2(n + 1) – 7 = 2n – 5.
Следовательно,
| an+1 + an–1 |
= |
2n – 5 + 2n – 9 |
= 2n – 7 = an, |
| 2 |
2 |
что и доказывает нужное утверждение. ◄
Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой
an = ak + (n – k)d.
► Например,
для a5 можно записать
a5 = a1 + 4d,
a5 = a2 + 3d,
a5 = a3 + 2d,
a5 = a4 + d. ◄
Так как
an = an–k + kd,
an = an+k – kd,
то, очевидно,
| an = |
an–k + an+k |
| 2 |
то есть,
любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.
Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:
am + an = ak + al,
если
m + n = k + l.
► Например,
в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
1) a10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a9 + a11)/2;
2) 28 = a10 = a3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;
3) a10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a7 + a13)/2;
4) a2 + a12 = a5 + a9, так как
a2 + a12 = 4 + 34 = 38,
a5 + a9 = 13 + 25 = 38. ◄
Сумма
Sn = a1 + a2+ a3 + . . .+an,
первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:
| Sn = | a1 + an |
· n . |
| 2 |
Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены
ak, ak+1, . . . , an,
то предыдущая формула сохраняет свою структуру:
| Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an = | ak + an |
· (n – k + 1) . |
| 2 |
► Например,
в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S3 = (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄
Если дана арифметическая прогрессия, то величины a1, an, d, n и Sn связаны двумя формулами:
| an = a1 + (n – 1)d и Sn = | a1 + an |
· n . |
| 2 |
Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:
- если d > 0, то она является возрастающей;
- если d < 0, то она является убывающей;
- если d = 0, то последовательность будет стационарной.
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Иначе,
b1, b2, b3, . . . , bn, . . .
является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
bn+1 = bn · q,
где q ≠ 0 — некоторое число.
Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:
b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn+1/bn = q.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.
► Например,
если b1 = 1, q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
b1 = 1,
b2 = b1 · q = 1 · (–3) = –3,
b3 = b2 · q = –3 · (–3) = 9,
b4 = b3 · q = 9 · (–3) = –27,
b5 = b4 · q = –27 · (–3) = 81. ◄
Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:
bn = b1 · qn–1.
► Например,
найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .
Имеем,
b1 = 1, q = 2,
b7 = b1 · q6 = 1 · 26 = 64. ◄
Так как
bn–1 = b1 · qn–2,
bn = b1 · qn–1,
bn+1 = b1 · qn,
то, очевидно,
bn2 = bn–1 · bn+1,
то есть,
каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.
Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.
► Например,
докажем, что последовательность, которая задаётся формулой bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
bn = –3 · 2n,
bn–1 = –3 · 2n–1,
bn+1 = –3 · 2n+1.
Следовательно,
bn2 = (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n+1) = bn–1 · bn+1,
что и доказывает нужное утверждение. ◄
Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой
bn = bk · qn–k.
► Например,
для b5 можно записать
b5 = b1 · q4,
b5 = b2 · q3,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · q. ◄
Так как
bn = bk · qn–k,
bn = bn–k · qk,
то, очевидно,
bn2 = bn–k · bn+k
то есть,
квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:
bm · bn = bk · bl,
если
m + n = k + l.
► Например,
в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
1) b62 = 322 = 1024 = 16 · 64 = b5 · b7;
2) 1024 = b11 = b6 · q5 = 32 · 25 = 1024;
3) b62 = 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;
4) b2 · b7 = b4 · b5, так как
b2 · b7 = 2 · 64 = 128,
b4 · b5 = 8 · 16 = 128. ◄
Сумма
Sn = b1 + b2 + b3 + . . . + bn
первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:
| Sn = b1 · | 1 – qn |
. |
| 1 – q |
А при q = 1 — по формуле
Sn = nb1
Заметим, что если нужно просуммировать члены
bk, bk+1, . . . ,bn,
то используется формула:
| Sn – Sk–1 = bk + bk+1 + . . . + bn = bk · | 1 – qn–k+1 |
. |
| 1 – q |
► Например,
в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S10 – S6 = 64 · (1 – 210–7+1) / (1 – 2) = 960. ◄
Если дана геометрическая прогрессия, то величины b1, bn, q, n и Sn связаны двумя формулами:
| bn = b1 · qn–1 и Sn = b1 · | 1 – qn |
. |
| 1 – q |
Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:
- прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:
b1 > 0 и q > 1;
b1 < 0 и 0 < q < 1;
- прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:
b1 > 0 и 0 < q < 1;
b1 < 0 и q > 1.
Если q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
Pn = b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n/2.
► Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128)8/2 = 1284 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48)5/2 = (1441/2)5 = 125 = 248 832.◄
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть
|q| < 1.
Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю
–1 < q < 0.
При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,
1, –1/2, 1/4, –1/8, . . . .
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой
| S = b1 + b2 + b3 + . . . = | b1 |
. |
| 1 – q |
► Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,
10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1/11 . ◄
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.
Если
a1, a2, a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то
ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.
► Например,
1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и
71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72. ◄
Если
b1, b2, b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то
loga b1, loga b2, loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью loga q.
► Например,
2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6. ◄
Смотрите также:
Арифметический корень n-й степени
Построение графиков функций геометрическими методами
Таблицы значений тригонометрических функций
Предел и непрерывность функции
