Непримечательная функция

 

 

Материал, который последует далее, — всего лишь заметка, математический штрих, повод к размышлению и, возможно, вашим будущим самостоятельным изысканиям. Мы познакомимся с некоторой функцией, на первый взгляд, вполне заурядной. Затем рассмотрим уравнение, которое без ниже следующего вступления простым назвать никак нельзя.  

Функция

F (x) =	(x2 – x + 1)3
	x2 · (x – 1)2

непримечательна с виду, а каким замечательным свойством обладает: она инвариантна относительно каждой из следующих шести подстановок:  

х =

u

,

x =	1	,
	u

x =

1 – u

,

x =	1	,
	1 – u

x =	u – 1	,
	u

x =	u	.
	u – 1

Функция F (x) инвариантна относительно подстановки x = g (u), если F (g (u)) = F (u). Проверим инвариантность заданной функции, например, относительно подстановки

x =	u	:
	u – 1

F (	u	) = ((	u	)2 –	u	+ 1)3 : ((	u	)2 · (	u	– 1)2 ) =
	u – 1		u – 1		u – 1		u – 1		u – 1

= (	u2 – u · (u – 1) + (u – 1)2	)3:	u2	=	(u2 – u + 1)3 · (u – 1)4	=	(u2 – u + 1)3	= F (u).
	(u – 1)2		( u – 1)4		u2 · ( u – 1)6		u2 · ( u – 1)2

Инвариантность функции F (x) относительно других подстановок проверяется аналогично.

Теперь, располагая всем набором подстановок для функции F (x), нетрудно сообразить, как можно без больших усилий решить уравнение 6-й степени:

(х2 – x + 1)3	=	(а2 – а + 1)3	, а ≠ 0, а ≠ 1.
x2 · (x – 1)2		а2 · (а – 1)2

Очевидный корень уравнения: х = а — соответствует подстановке х = u. Остальные подстановки сразу дают нам ещё пять корней: 

1	,  1 – а ,	1	,	а	,	а – 1	.
а		1 – а		а – 1		а

 

   <<< Назад