Величайшая формула математики

Без дальнейших церемоний, вот она:

$e^{\pi i}+1=0 .$

Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).

Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: e — основание натурального логарифма, i — квадратный корень из -1 и 0. Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.

Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы. Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.

Первый шаг в нашем путешествии — понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots$

Здесь x измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение sin x для конкретного значения x, используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.

Соответствующая формула для косинуса:

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots$

Наконец,

$\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots$

Число e — константа, равная 2,71828..., и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе e написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можно также прочитать о нем здесь.

Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:

$\sin x+\cos x=1+x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots$

Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: ++--++--++..., она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу i в целые степени:

$i^0=+1,i^1=+i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=+1,i^5=+i,\ldots$

Это означало, что можно заменить x в последней формуле на xi и получить:

$e^{xi}=1+xi-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{ix^7}{7!}+\ldots$

Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения sin x умножаются на i. То есть получаем в точности

$e^{xi}=\cos x+i\sin x .$

Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом e и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя e было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.

Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения e в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от e, требуется только ее незначительная модификация.

Теперь вернемся к волшебному равенству. Мы можем подставить в него любое вещественное число x, и в результате получим некоторое комплексное число. Один возможный выбор для x — это x=兀. Вспомним из тригонометрии, что 兀 радиан — это 180 градусов. Косинус 180 градусов равен -1, а синус равен 0.

Поэтому

$e^{\pi i}=-1+i0$

, или

$e^{\pi i}=-1 .$

Все это дает понятие о мощи и творческих способностях Леонарда Эйлера, и о том, почему его иногда называют выдающимся умом восемнадцатого века. Я буду еще писать о нем и некоторых его результатах в серии Euler’s Greatest Hits.

Перевод статьи Larry Phillips, The Greatest Formula in Mathematics