Удвоение куба

Существует три классических задачи греческой математики, которые сыграли чрезвычайно важную роль в развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя они тесно связаны, мы решили рассмотреть их в отдельных статьях. Настоящая статья посвящена задаче об удвоении куба, или дублирования куба, или Делосской задаче – это три различных названия одной классической задачи. Было бы справедливо сказать, что хотя среди любителей математики в более позднее время задача о квадратуре круга стала самой популярной, во времена древних греков задача об удвоении куба, безусловно, была более известной.

Есть два разных мнения относительно возникновения этой задачи. Теон Смирнский цитирует работу Эратосфена:

“Эратосфен в своей работе “Платоник’’ рассказывает, что, когда бог возвестил делийцам через оракула, что для избавления от чумы они должны построить жертвенник вдвое больше, чем существующий, их мастера не смогли, несмотря на все их усилия, понять, как может быть построено тело в два раза больше данного, поэтому они пошли к Платону и спросили об этом, и он ответил, что оракул имел в виду не то, что Бог хотел, чтобы алтарь был в два раза больше, но что он хотел этой задачей устыдить греков за их пренебрежение математикой и их неуважение к геометрии’’.

Чума, безусловно, была важным событием в истории Афин, и около четверти населения умерло от нее. Это было около 430 г. до н.э., и поэтому, если есть хоть доля правды в этой истории, мы можем, по крайней мере, назвать достаточно точную дату появления задачи. Это также согласуется с ранними работами Гиппократа, относящимися к этому вопросу.

Евтокий в своем комментарии к работе Архимеда “О сфере и цилиндре’’ дал несколько иную версию. Как утверждается, это письмо, написанное Эратосфеном царю Птолемею, и хотя письмо является подделкой, написавший его приводит несколько подлинных высказываний Эратосфена:

“Эратосфен приветствует царя Птолемея.

Рассказывают, что один из древних поэтов-трагиков представлял Миноса и гробницу, построенную для Главка. Когда Минос обнаружил, что гробница имеет с каждой стороны длину сто футов, он сказал: “Слишком маленькую могилу вы создали, чтобы она была местом отдыха королей. Пусть она будет в два раза больше. Не меняя форму, быстро удвойте каждую сторону гробницы’’. Это было явной ошибкой. Ибо если стороны удвоятся, площадь поверхности увеличится в четыре раза, а объем – в восемь раз’’.

Эта история является эпизодом греческой мифологии, а не историческим фактом. Однако открытия в Кноссе на Крите в относительно недавнее время показали, что, по крайней мере, частично мифы основаны на реальных исторических событиях. В мифах говорится, что Главк, сын критского царя Миноса и его жены Пасифаи, умер в детстве из-за того, что упал в банку с медом.

Как мы только что видели, происхождение задачи об удвоении куба может быть несколько неясным, но нет сомнения, что греки уже в течение длительного времени знали, как решать задачу об удвоении площади. Действительно, возьмем квадрат ABCD и проведем его диагональ DB. Построим квадрат BDEF на BD. Тогда, как легко видеть, площадь BDEF в два раза больше площади ABCD. Удвоение прямоугольника немного сложнее, но оно также было известно, представлено Евклидом во второй книге “Начал’’ и, безусловно, является частью гораздо более ранней работы.

Решение

Первый крупный шаг к решению задачи об удвоении куба был сделан Гиппократом, вероятно, вскоре после того, как эта задача появилась. Однако, кажется, что задача рассматривается уже в более общем виде, а именно:

(I) Найти куб, отношение которого к данному кубу равно отношению двух данных длин.

Гиппократ свел задачу к следующей:

(II) По данным двум длинам найти два средних пропорциональных (иначе, средних геометрических),

т.е. по данным a,b найти x,y такие, что: a:x=x:y=y:b.

С нашим современным пониманием отношений легко видеть, что (I) и (II) эквивалентны. Действительно,

  

Таким образом, если дан куб со стороной a и требуется построить куб, больший по объему в b:a раз, нужно построить куб со стороной x.

Сейчас часто в статьях об удвоении куба для доказательства результата Гиппократа приводится аргументация предыдущего абзаца (там, где показана эквивалентность (I) и (II)). Но этот тип аргументов не был доступен Гиппократу, поэтому нужно рассматривать не только как он доказал эквивалентность, но в первую очередь, как он получил этот результат. Не существует способа узнать точные ответы на эти вопросы. Однако есть ключи, которые дает задача в двумерном случае. Евклид в “Началах’’ показывает, что следующие две задачи эквивалентны:

(III) Найти квадрат, отношение которого к данному равно отношению двух данных длин.

(IV) По двум данным длинам найти их среднее геометрическое, т.е. для данных a,b найти x такое, что a:x=x:b.

Снова современное доказательство дает . Отсюда видно, что если для данного квадрата со стороной a мы построим квадрат со стороной x, то его площадь будет равна площади квадрата со стороной a, умноженной на b:a. Евклид в Книге VI “Начал’’ не только показывает эквивалентность (III) и (IV), но он показывает, как задача (IV) может быть использована для решения задачи (III). Хит также предполагает, что Гиппократ, возможно, пришел к своей идее с помощью теории чисел, поскольку он цитирует Книгу VIII “Начал’’ Евклида:

“Между двумя кубами чисел найдутся два средних пропорциональных, и куб относится к кубу как три раза отношение стороны к стороне’’.

Тем не менее, тщательный текстовый анализ работы Архимеда “О сфере и цилиндре’’ приводит автора статьи K Saito, Doubling the cube: a new interpretation of its significance for early Greek geometry, Historia Math. 22 (2) (1995), 119-137 к заключению, что составные отношения, уже хорошо известные Архимеду, принадлежат более современной математике, чем та, что существовала во время Гиппократа. Независимо от рассуждений Гиппократа, которыми он доказывал, что задача удвоения куба сводится к (II), весьма примечательно, что все последующие математики решали задачу (II), а не задачу в первоначальной формулировке.

Далее мы рассмотрим решение, предложенное Архитом. Это довольно красивое решение, в котором использованы выдающиеся новшества, введенные Архитом. Хит пишет:

“Решение Архита является самым замечательным из всех, особенно с учетом времени его появления (первая половина четвертого века до н.э.), потому что это не построение в плоскости, а смелый выход в третье измерение для нахождения определенной точки как пересечения трех поверхностей вращения…’’

Покажем построение Архита, приведенное Евтокием. Попытаемся дать его современную интерпретацию, чтобы сделать его более понятным, но подчеркнем, что метод координат для его описания Архит ни в коей мере не использует.

Рассмотрим окружность в плоскости xy, с диаметром OA, расположенным на оси x, где O — начало координат, и точка A имеет координаты (a,0). Пусть B — точка на окружности, и OB=b. Требуется найти два средних геометрических между a и b. Продолжим OB до пересечения с касательной к окружности, проведенной через точку A, в точке C. Предположим, что мы рассматриваем всю эту фигуру в трехмерном пространстве, где ось z проходит через O перпендикулярно плоскости чертежа. Теперь представим три поверхности вращения, о которых говорит Хит в цитате, приведенной выше. Одна из них — поверхность полуцилиндра, построенного на полукруге OBA как на основании. Вторая — поверхность конуса, который получается вращением треугольника OCA вокруг прямой OA. Третья поверхность получается рассмотрением полукруга в плоскости xz с диаметром OA, вращающегося вокруг оси Oz так, что OA вращается в плоскости xy вокруг точки O. Эта поверхность является одной половиной тора, отверстие в центре которого — только точка O.

Пусть эти три поверхности вращения пересекаются в точке P. Тогда P, которая находится на поверхности полуцилиндра, проектируется в точку N на окружности OBA. Два средних геометрических, построенных Архитом, это OP и ON. Мы используем метод координат и сразу увидим правоту Архита, но сначала приведем построение словами Евтокия, без изменений, за исключением обозначений точек, которые я изменил, чтобы они соответствовали обозначениям нашего рисунка и тому, что описано выше:

“Это решение Архита, как пишет Евтокий.

Пусть две данные длины OA[=a] и b. Требуется построить два средних геометрических между a и b. Построим на OA как на диаметре окружность OBA, где OA большее число OA=max{a,b}, и впишем OB длины b и продолжим его до встречи в точке C с касательной к окружности в точке A. …представим полуцилиндр, который стоит вертикально на полукруге OBA, и что на OA перпендикулярно [основанию] полуцилиндра стоит полукруг. Когда этот полукруг перемещается из A в B, причем оконечность диаметра O фиксирована, он во время движения будет пересекать цилиндрическую поверхность по некоторой кривой. Тогда, если OA остается на месте, а треугольник OCA поворачивается вокруг OA, и движение его противоположно движению полукруга, получится коническая поверхность, созданная линией OC, которая в процессе своего движения пересечет кривую на цилиндре в конкретный момент [P]…’’

Чтобы с помощью современной математики увидеть, почему это работает, отметим, что цилиндрическая поверхность имеет уравнение

(1) 

уравнение тороидальной поверхности

(2) 

и уравнение конической поверхности

(3) 

Если (p,q,r) – точка, где эти три поверхности пересекаются, то

  

Теперь из (1) и (3) 

Таким образом,

  

что и требовалось.

Благодаря трудам Евтокия мы знаем, что Евдокс также дал решение задачи об удвоении куба. Его решение потеряно, однако, по версии Евтокия, оно содержало тривиальную ошибку, и поэтому он его не привел. Никто не верит, что в решении Евдокса были элементарные ошибки (для этого он был слишком хорошим математиком), поэтому ошибкой должна быть погрешность, допущенная при копировании его решения тем, кто не понял его правильно. Поль Таннери предположил, что решение Евдокса было двумерной версией решения, данного Архитом, которое мы только что описали, по сути, это было решение, полученное при проектировании построения Архита на плоскость. Однако Хит предполагает, что Евдокс был:

“…слишком оригинальным математиком, чтобы довольствоваться простой адаптацией метода Архита’’.

Я [EFR] согласен с этой оценкой Хита, так что кажется, мало шансов, что мы когда-нибудь узнаем, как Евдокс решил задачу об удвоении куба.

Менехм, как говорят, открыл конические сечения в то время, когда пытался решить задачу об удвоении куба. Решение Менехма нахождения двух средних геометрических описано Евтокием в его комментарии к работе Архимеда “О сфере и цилиндре’’:

Пусть даны a,b, и мы хотим найти два средних пропорциональных x,y между ними, т.е. a:x=x:y=y:b. Используя современную математику, конечно же, недоступную для Менехма, мы можем увидеть, как конические сечения возникают при решении задачи. Имеем

, так что xy=ab,

, так что y²=bx,

и , так что x²=ay.

Менехм привел два решения. Первое дают равнобочная гипербола и парабола, которые задаются первыми двумя уравнениями в нашем списке. Теперь мы видим, что значения x и y находятся как координаты точки пересечения параболы y²=bx и равнобочной гиперболы xy=ab. Конечно, мы должны еще раз обратить внимание, что это никоим образом не указывает способ, которым решил задачу Менехм, но это показывает в современных терминах, откуда в решении задачи возникают парабола и гипербола. Для своего второго решения Менехм использует пересечение двух парабол y²=bx и x²=ay, — второе и третье уравнения в нашем списке.

Одной из величайших загадок, связанных с решением задачи об удвоении куба, является механическое решение, известное как машина Платона. Сейчас кажется маловероятным, что Платон мог дать механическое решение, особенно учитывая его взгляды на такие решения. Плутарх писал:

“Платон упрекал последователей Евдокса, Архита и Менехма за обращение к механике и инструментальным средствам для решения задачи об удвоении куба, поскольку, желая найти каким-либо способом два средних пропорциональных, они прибегли к методу, который был иррациональным. Действуя таким образом, не потерять безвозвратно лучшее в геометрии, спускаясь на уровень чувств, который мешает созданию и даже восприятию вечных и бестелесных образов, среди которых Бог, является бесконечно божественным (примеч. думаю, имеется в виду невозможным для простого смертного)’’.

Относительно машины Платона, решающей задачу об удвоении куба, существует две теории. Согласно одной из них Платон придумал механическое решение, чтобы показать, как легко разработать такие решения, но более распространенной теорией является то, что машина Платона была изобретена одним из его последователей в Академии.

Эратосфен играет важную роль в истории задачи, так как сама история ее стала известна благодаря ему, а также из-за его собственного вклада в ее решение. Он возвел в Александрии колонну, посвященную царю Птолемею с эпиграммой, связанной с его собственным механическим решением задачи об удвоении куба:

“Если ты, добрый друг, решишь получить из любого малого куба удвоенный куб и соответственно превращать любое твердое тело в другое, это в твоей власти; ты можешь этим методом найти меру загона для овец, ямы, широкого бассейна или узкого колодца, то есть, если ты таким образом проведешь между двумя линиями две средних со сходящимся концом. Не ищи трудностей с цилиндрами Архита, и не разрезай конус на триады Менехма, и не проводи таких изогнутых линий, как описывает богобоязненный Евдокс. Нет, ты мог бы на этом рисунке легко найти множество средних, начиная с малого основания. Блажен ты, Птолемей, в том, как отец, равный своему сыну в юности силой, ты дал ему все, что дорого музам и королям, и может быть, в будущем Зевс, бог неба, также вручит скипетр в руки твои. Так может быть, и пусть каждый, кто читает это предложение, скажет: “Это подарок Эратосфена из Кирены’’’’.

Так какую машину изобрел Эратосфен для решения этой задачи? Она состоит из двух параллельных линий с треугольниками между ними, как показано на верхнем рисунке. Здесь AE и DH — две длины, для которых требуется найти два средних пропорциональных. Теперь фиксируем первый треугольник AMF и позволяем треугольникам MNG и NQH скользить внутри рамки, ограниченной AX и EY. Будем поворачивать AX до тех пор, пока она не пройдет через точку D, но во время поворота точки B и C, в которых эта вращающаяся прямая пересекает NF и MG, продолжают оставаться на сторонах MG и NH двух треугольников, которые перемещаются влево, чтобы вся конфигурация оставалась возможной. Треугольники сдвигаются влево до тех пор, пока не получится нижний рисунок. На этом последнем рисунке BF и CG — два искомые средние пропорциональные между AE и DH.

Эратосфен указывает в цитате, приведенной выше, что его машина способна найти более двух средних пропорциональных. Если бы кому-то потребовалось “несметное число’’ средних пропорциональных, то нужно было бы положить такое количество подвижных треугольников в машину, и с помощью той же процедуры найти “несметное число’’ средних пропорциональных.

Другие решения задачи привели Филон и Герон, которые использовали одни и те же методы. По сути, их решение получается как пересечение круга и равнобочной гиперболы. Никомед, который сильно критиковал механическое решение Эратосфена, привел построение, в котором используется конхоида кривой, которую он также применял для решения задачи о трисекции угла. Подробная информация о построении приведена в книге T.L. Heath, A history of Greek mathematics I (Oxford, 1931). Диоклес также придумал специальную кривую, решающую задачу об удвоении куба, а именно циссоиду.

Хотя в попытках удвоить куб были придуманы эти столь различные методы и сделаны замечательные математические открытия, древние греки не нашли решения, которое они действительно искали, а именно того построения, которое можно произвести с помощью циркуля и линейки. Они не нашли такого построения, поскольку оно невозможно. Однако никаким способом древние греки не могли доказать такой результат, поскольку для этого требуются математические знания, далеко выходящие за рамки тех, что у них имелись. Было бы справедливо сказать, однако, что хотя они не могли доказать невозможность построения с помощью циркуля и линейки, но лучшие древнегреческие математики интуитивно знали, что это действительно невозможно.

Доказательство невозможности нужно было ждать до 19-го века. Окончательно его части были соединены воедино Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал доказательство в журнале Лиувилля:

“…посредством оценки, может ли быть решена геометрическая задача с помощью циркуля и линейки’’.

Гаусс заявил, что задачи об удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этого. В работе 1837 г. Ванцель первый доказал этот результат. Позже доказательство улучшил Чарльз Штурм, но он это не опубликовал.

Перевод статьи: J.J. O’Connor, E.F. Robertson, Doubling the cube

 

 Alexandr:

Ноябрь 17th, 2014 at 1:51

Пять разделить на три без остатка – такая же неразрешимая задача как и удвоение куба. Но ее решение слишко очевидно, чтобы его оспаривать. Поэтому его правильность не вызывает сомнений.
Задача проста и наглядна потому, что ее решение выполняется с одним отрезком в одной плоскости.
Решение же задачи по удвоению объемной фигуры не так легко себе представить. Поскольку оно должно выполняться в трех плоскостях с, как минимум, двенадцатью отрезками. Для этого нужно иметь хотя бы задатки воображения.
Разумеется, для облегчения ее решения нормальный человек прибегнет к вычислениям. Тут-то его и подстерегает древняя ошибка возведенная Ванцелем в незыблемый научный постулат о неразрешимости задачи.
У меня, может быть, могло бы хватить сил и способностей для сочинения научнообоснованного труда о невозможности стать Президентом, например, России. И если кто посчитал бы, что я допущу какие-то ошибки – ну пусть попробует им стать!
Но Президент в России есть. И будет, очевидно. И дай ему бог еще.
Ну кто бы мой опус, базирующийся на перечислении ошибок, и на промахах допускаемых при достижении обозначенной цели или при следовании в какую-нибудь другую сторону от нее, этот мой даже подтвержденный экспериментами и фактами труд, посчитал бы непререкаемой истиной? Только идиот какой-нибудь.
В условии задачи об удвоении куба говорится определенно и однозначно, что ребро удвоенного куба должно быть найдено не с понощью алгебры или молекулярной физики, не с помощью истории религии или чтения священных мантр, а с помощью ЛИНЕЙКИ и ЦИРКУЛЯ!
Пытаясь вычислить решение ГРАФИЧЕСКОЙ задачи на калькуляторе вы неизбежно уйдете в другую сторону от ее решения.
Попробуйте разделить пять на три без остатка в числовом выражении. Вы только количество цифр после запятой устанете пересчитывать. А ее графическое решение не создает никаких трудностей в любых системах исчисления.
Основополагающая проблема неразрешимости задачи по удвоению куба – построение отрезка равного кубическому корню из двойки – в графическом способе решения выносится далеко за скобки, если не устраняется вовсе, как шлейф цифр после запятой.
Задача не теорема. Ей не требуются доказательства. Ей нужна будет проверка результата.
Но и здесь привычно берутся “поверять алгеброй гармонию”.
Ну как же убедиться, что задача решена верно не прибегая к привычному абсурду – пересчету неисчислимого?
Только физическим опытом “на тело, погруженное в воду действует выталкивающая сила…” и никак по-другому. Про ОБЪЕМ задача ведь!
Но это потребует материальных не затрат даже, а потерь!
Ведь чтобы сделать кубик в два кубических сантиметра надо купить целую коробку пластилина! По пять-десять грамм он не продается – это раз.
А два – потом при любом исходе опыта эта коробка ни для чего больше не понадобится! Выбрасывать? Может лучше сразу выбросить деньгами?
Все равно же деньги на ветер.

Поэтому, на мой взгляд, есть пара причин неразрешимости таких задачь. Первая, она же главная – инертность и вторая – леность ума.
Как Ванцель вообще смог заставить все человечество поверить в то, что у любого определенного, завершенного, ограниченного круга площадь всегда будет только приблизительной?
Это какое направление Логики? Даже не “от обратного”. От абсурдного, может быть? Для меня это так и остается загадочной загадкой.
Куда там Христианской религии до его масштабов!
Но чумы в Делосе не будет. Куб удваивается. Тривиальным способом. Дети, не подозревая о неразрешимости задачи, способны удвоить куб запросто, без рассуждений о бесконечностях. А взрослые уже не могут – их уговорили, что задача не имеет решения.

2 Alexandr:

Так я и не придумал, на чем основано приведенное решение. Поэтому предлагаю к рассмотрению, анализу и проверке свое, сделанное позднее, но независимо от предыдущего.

Оно основано на сплющивании куба до призмы с квадратным сечением и половиной высоты искомого куба и последующей достройкой второй его половины.
Решение простейшее. Его способен найти ребенок при практическом подходе к этой задаче с кубиками из мягкой глины, пластилина, оконной замазки и др.
Верхняя точка (В) диагонали (а) грани куба сместится при этом чуть выше середины грани. А точнее – будет выше точки G – точки конечного пересечения смещенной диагонали (а1) и средней линии – точка В1.
Длина диагонали останется прежней, а ее верхняя точка придется на половину длины ребра искомого куба. Из точки В1 опустим перпендикуляр к нижней линии грани и получим целую длину ребра искомого куба, что можно сразу проверить:
половина полученного ребра (вертикальная) укладывается на целой (горизонтальная) два раза. Т.е. длина полученного прямоугольника относится к ширине как 2/1, что соответствует половине квадрата или половине грани призмы.
Если мы достроим вторую половину, то получим грань искомого куба вдвое больше данного.
В раннем решении этой задачи очевидно нахождение тех же точек и отрезков на тех же местах. Только получены они каким-то иным способом.
Если последовательно увеличить куб с данной гранью трижды – сначала вдвое, потом вчетверо, потом в восемь раз, то на грани в восемь раз большего куба грань изначально данного уложится четыре раза, что говорит о правильности решения и применимости его к кубу любого размера.

Подчеркиваю, что приведенное здесь первым решение “Стрижака” сделано на месяц раньше моего.
Не знаю, как оно получено, но его правильность подтверждается указанным мною способом.

3 Alexandr:

Кстати о трисекции угла (невозможной).
Если возьмем произвольный угол XOY – я взял угол порядка 25-26 градусов – и на его лучах отметить две равноудаленные от вешины угла точки A и B, затем отложить длины полученного отрезка от этих точек один раз в направлении вершины укла, точки О, получив таким образом точки С и D и дважды в направлении от вершины угла, получив при этом точки E и F, то соединив попарно точки C и F, затем точки D и E мы получим с помощью только одной линейки и только одного, соответственно, циркуля возможную графическую модель “архимедовой линейки”, которую я, честно говоря, никогда не видел и не пытался ее повторить. Так уж получилось.
При этом точки пересечения отрезков CF и DE с отрезком AB укажут точки трисекции угла XOY.
Вероятно, что Архимед создал свою “линейку” на этом принципе. Т.е. задачу о трисекции угла он решил уже давно. Зная, что даже дураку пол-работы не показывают, он не опубликовал свой способ деления угла на три равные части, а предъявил только половину – результат. Ну и те, кому пол-работы не показывают, подивились этому и пришли к выводу, что с одной линейкой задачу эту не решить. Что на сегодня и имеется в определении задачи о трисекции угла…

Владимир:

Уважаемые господа математики, объясните пожалуйста, является ли число Пи железо-
бетонной константой нашей земной математики? или это тоже одна из приблизительных цыфирей которая никогда не даст нам точного ответа на поставленную задачу с её применением. Пример
Pi D = Длина окружности но если взять D=1 а Pi=3,1415 то получим длину равную = 3,1415 далее
если берём 3,1415926 то длина будет 3,1414926 далее берём 3,1415926535897932384626433832795 естественно и результат будет очевидно такой же. А теперь посмотрим результаты. 3,1415926535897932384626433832795/ 3,1414926=1,0000000170581612773287801172181 и какое Пи является константой??? Первое второе или третье а может быть и ни то и ни другое а неизвестно какое потому что последнего знака нам никогда не видать как своих ушей. Так почему квадратура круга является нерешаемой задачей а нахождение длины окружности – решаемой? При помощи циркуля и линейки очень легко найти половину числа Пи произведя несколько действий и в зависимости от их количества получаем ту или иную точность которая может быть и 32 знака как в калькуляторе который встроен в программу системы, может иметь 1000 верных знаков после запятой а может и все которые известны на сегодняшний день. Почему же квадратура считается нерешаемой???????????

4 Alexandr:

Задача

Строим куб вдвое меньший по объему.
Для этого ребро исходного куба [CE] с V=1 делим пополам и получаем точку D.
Соединив эту точку с вершиной угла BAE, получим прямоугольный треуголник ADE S которого равна половине произведения кубического корня из единикы (катет AE) на половину корня из единицы (катет DE).
[AE] = кубический корень из 1 = 1;
[DE] = 1/2 кубического корня из 1 = 0,5;
половина их произведения 1 x 0,5 : 2 = 0,25, что составляет 1/4 площади грани исходного куба.
Мы знаем, как простыми способами на отрезке равном гипотенузе треугольника AD построить равнобедренный прямоугольный треугольник AFD. Что и сделаем, построив два перпендикуляра к концам отрезка и поделив получившиеся углы пополам. Таким образом найдем точку F.
S треугольника AFD по-прежнему равна 1/4 S грани исходного куба поскольку квадрат той же самой гипотенузы остается равен сумме квадратов катетов как в первом треугольнике, так и во втором.
Достроим из полученного треугольника квадрат, площадь которого вдвое меньше площади грани исходного куба.
Все просто, все очевидно, все логично. Неоспоримо.
Те же действия, проделанные в обратной последовательности с противоположным результатом (увеличение объема куба вдвое) должны содержать ошибку.
Определте, какое из них в прямой последовательности подчиняется правилам математики, а в обратной нет и почему.

5 Alexandr:

Предлагаю Вашему вниманию еще один (последний) принципиально новый способ решения задачи по удвоению куба.
Этот способ никогда и никем не предлагался поскольку он очевиден, обоснован и удовлетворяет всем требованиям (включая сюда и “упрощение” с построением одной только грани) настолько, что оспаривать его не имеет смысла. И если бы кто-либо его предложил раньше, то мифа о невозможности удвоить куб уже не существовало бы.
Итак.
Возьмем призму с квадратным сечением состоящую из двух единичных кубов (рис.1)
Длинное ребро прямоугольной грани разделим на четыре равные части, соединим точку отмечающую 3/4 E с дальним противоположным углом B и получим прямоугольный треугольник EBC гипотенуза EB которого равна сумме квадратов короткого ребра (1Х1) и 3/4 длинного (1,5Х1,5) (рис.2)
Этот отрезок, равный 1+2,25=3,25 будет диагональю грани удвоенного куба потому, что построив на его основе прямоугольный равносторонний треугольник EGB (рис.3), получим ребро куба EG, например, равное квадратному корню из 1,625, т.е. 1,274754878398…, куб которого равен двум.