Точка Жергонна, теорема Жергонна

Жозеф Диас Жергонн (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) — французский математик, геометр, на которого оказал большое влияние Монж, с 1830 по 1844 год был ректором университета Монпелье.

В 1810 году Жергонн начал издавать свой журнал, который имел официальное название Annales de mathématiques pures et appliquées, но стал известен как Annales de Gergonne. Этот журнал издавался в течение 22 лет, в основном в нем печатались работы, посвященные геометрии как основной области интересов Жергонна. В нем печатались работы многих известных математиков: Понселе, Плюкера, Брианшона, Галуа и др.

Жергонн дал элегантное решение задачи Аполлония: построить окружность, которая касается трех данных окружностей. Он ввел термин “поляра” и принцип двойственности в проективную геометрию.

Вот так Жергонн говорил о математических теориях:

“Невозможно чувствовать удовлетворение от того, что в некоторой теории сказано все, пока она не может быть объяснена в нескольких словах любому прохожему, с которым вы встретитесь на улице.”

Красиво, не правда ли? Жаль, что это невозможно…

Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности.

Пусть точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков $AD$, $BE$ и $CF$.

Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника $ABC$, а радиусы вписанной окружности $ID$, $IE$ и $IF$ перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеем три пары равных треугольников ($AFI$ и $AEI$, $BFI$ и $BDI$, $CDI$ и $CEI$).

Произведения $AF \cdot BD \cdot CE$ и $AE \cdot BE \cdot CF$ равны, поскольку

\[BF = BD, \quad CD = CE, \quad AE = AF,\]

следовательно, отношение этих произведений равно 1, и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной точке.

Замечание. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема Жергонна. Пусть три чевианы $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $K$ внутри треугольника $ABC$. Тогда выполняются следующие равенства:

$\displaystyle \frac{KD}{AD} + \frac{KE}{BE} + \frac{KF}{CF} = 1$.
$\displaystyle \frac{AK}{AD} + \frac{BK}{BE} + \frac{CK}{CF} = 2$.

Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства

\[\frac{AK}{AD} + \frac{KD}{AD} = 1, \quad \frac{BK}{BE} + \frac{KE}{BE} = 1, \quad \frac{CK}{CF} + \frac{KF}{CF} = 1,\]

то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.

Рассмотрим отношения площадей треугольников

\[\frac{S_{\Delta BKC}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{KD}{AD}, \quad \frac{S_{\Delta AKC}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{KE}{BE}, \quad \frac{S_{\Delta AKB}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{KF}{CF}.\]

Здесь мы используем тот факт, что отношения площадей треугольников, имеющих общую сторону, равны отношениям их высот. Соответственно, отношение высот будет равно отношению длин параллельных отрезков, проведенных к общей стороне из противоположной вершины.

Теперь сложим отношения площадей:

\[\frac{KD}{AD} + \frac{KE}{BE} + \frac{KF}{CF} = \frac{S_{\Delta BKC} + S_{\Delta AKC} + S_{\Delta AKB}}{S_{\Delta ABC}} = 1.\]