Теорема Ван-Обеля
\[\frac{AP}{PA_1}=\frac{AB_1}{B_1C}+ \frac{AC_1}{C_1B} .\]
Доказательство. С механической точки зрения, теорема Ван-Обеля — это свойство центра масс. Центр тяжести системы из трех материальных точек A,B,C может быть найден двумя способами. Во-первых, это центр тяжести системы из трех точек, в который помещена масса, равная сумме трех масс исходных точек. Во-вторых, это центр масс двух точек: одной из данных трех (например, A) и центра масс двух остальных точек (B и C).
Доказательство теоремы довольно простое, оно следует из сопоставления трех пар подобных треугольников: \[PHG и PBC, AB_1G и B_1BC и AC_1H и BCC_1.\]
Введем следующие обозначения:
\[u=\frac{PA_1}{AA_1},v=\frac{PB_1}{BB_1},w=\frac{PC_1}{CC_1}, r_a=\frac{CA_1}{A_1B}, r_b=\frac{AB_1}{B_1C}, r_c=\frac{BC_1}{C_1A} .\]
По теореме Чевы имеем
\[r_ar_br_c=1 .\]
Равенство из теоремы Ван-Обеля перепишется в новых обозначениях как
\[\frac{1}{u}=r_b+\frac{1}{r_c}+1,\]
что эквивалентно (используем предыдущее равенство)
\[\displaystyle \frac{1}{u}=r_b+r_ar_b+1 .\]
Аналогично
\[\frac{1}{v}=r_c+\frac{1}{r_a}+1=r_c+r_cr_b+r_ar_br_c=r_c(1+r_b+r_ar_b)\]
и
\[\frac{1}{w}=r_a+\frac{1}{r_b}+1=r_a+r_ar_c+r_ar_br_c=r_a(1+r_c+r_br_c)=\]
\[=r_a(r_ar_br_c+r_c+r_br_c)=r_ar_c(1+r_b+r_ar_b) .\]
Следовательно,
\[u+v+w=\frac{1+1/r_c+r_b}{1+r_b+r_ar_b} .\]
С учетом равенства r_ar_br_c=1 получаем u+v+w=1, что и требовалось доказать.
В действительности u,v и w — это барицентрические координаты точки P. Также заметим, что \[u=PA_1/AA_1, т.е. u\] — это отношение площадей треугольников PBC и ABC, аналогичные соотношения можно получить для v и w. Тем самым, барицентрические координаты точки P внутри треугольника ABC пропорциональны площадям треугольников, которые P образует с тремя сторонами треугольника.
Замечание. Теорема Ван-Обеля для треугольника допускает обобщение на случай, когда точка P лежит вне треугольника ABC (см. Понарин Я.П. “Элементарная геометрия’’, т. 1, с. 24).
Теорема Ван-Обеля для четырехугольника. Пусть на сторонах произвольного четырехугольника построены внешним образом квадраты. Тогда отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.
Доказательство. Для начала напомню простой факт: в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости вектору с координатами (a,b) перпендикулярны векторы с координатами (-b,a) и (b,-a). Проверяется это легко вычислением скалярного произведения векторов.
Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве базисных векторы \[\vec{b}=\vec{AB}=(1,0)\] и вектор \[\vec{k},\] перпендикулярный \[\vec{k}=(0,1).\] Тогда векторы \[\vec{a}=\vec{AD},\vec{c}=\vec{CB},vec{d}=\vec{DC}\] имеют координаты \[\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{c}=(c_1,c_2),\vec{d}=(d_1,d_2),\] причем выполняется равенство \[\vec{a}+\vec{d}+\vec{c}-\vec{b}=\vec{0},\] из которого следует, что \[d_1=1-a_1-c_1,d_2=-a_2-c_2.\] Найдем в этом базисе координаты векторов \[\vec{O_1O_3} и \vec{O_2O_4}.\]
\[\vec{AO_1}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{k})=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),\]
\[\vec{AO_4}=\frac{1}{2}\left(\vec{a}+(-a_2,a_1)\right) =\left(\frac{a_1-a_2}{2},\frac{a_1+a_2}{2}\right) ,\]
\[\vec{AO_3}=\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{d}+(-d_2,d_1))=\left(\frac{2a_1+d_1-d_2}{2},\frac{2a_2+d_1+d_2}{2}\right)=\]
\[=\left(\frac{1+a_1+a_2-c_1+c_2}{2},\frac{1-a_1+a_2-c_1-c_2}{2}\right) ,\]
\[\ \vec{AO_2}=\vec{b}+\frac{1}{2}(-\vec{c}+(-c_2,c_1))=\left(\frac{2-c_1-c_2}{2},\frac{c_1-c_2}{2}\right) .\]
Отсюда
\[\vec{O_3O_1}=\vec{AO_1}-\vec{AO_3}=\left(\frac{-a_1-a_2+c_1-c_2}{2},\frac{-2+a_1-a_2+c_1+c_2}{2}\right) ,\]
\[\vec{O_4O_2}=\vec{AO_2}-\vec{AO_4}=\left(\frac{2-a_1+a_2-c_1-c_2}{2},\frac{c_1-c_2-a_1-a_2}{2}\right) .\]
Далее легко проверить, что квадраты длин этих векторов равны, поскольку совпадают суммы квадратов их координат. А то, что они перпендикулярны, следует из очевидного равенства нулю их скалярного произведения (сравните координаты векторов, перемножать вовсе не нужно!).
К сожалению, хорошего геометрического доказательства этой теоремы не нашла, да и вообще никакого не нашла, привела здесь свое доказательство. Несмотря на то, что “когда появляются векторы, исчезает геометрия’’ (с), теорема доказана ;) .
