Теорема Птолемея

Клавдий Птолемей ($K\lambda\alpha\upsilon\delta\iota o\varsigma\ \Pi\tau o\lambda\varepsilon\mu\alpha\iota o\varsigma$), живший в конце первого — начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея — «Альмагест», в котором он изложил сведения по астрономии. Включал «Альмагест» и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, то
$\angle ABC+\angle ADC=\pi$, откуда $\cos\angle ABC+\cos\angle ADC=0$.

Из треугольника ABC по теореме косинусов находим

\[\cos\angle ABC=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}\]

Аналогично из треугольника ADC:

\[\cos\angle ADC=\frac{d^2+c^2-e^2}{2dc}\]

Сумма этих косинусов равна нулю:

\[\cos\angle ABC+\cos\angle ADC=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}+\frac{d^2+c^2-e^2}{2dc}=0\]

Отсюда выразим $e^2$:

\[e^2=\frac{ab(d^2+c^2)+dc(a^2+b^2)}{ab+dc}=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}\]

Рассмотрим треугольники ABD и BCD и найдем $f^2$:

\[f^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\]

Отсюда

\[(ef)^2=(ac+bd)^2,\ ef=ac+bd\]

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

\[\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd}\]

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

\[AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD\]

Докажем, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Обозначим через R радиус окружности, описанной вокруг $\Delta ABC$. Из точки D опустим перпендикуляры на прямые AB, BC и AC и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через $C_1,A_1$ и $B_1$ соответственно. По теореме синусов для треугольника $A_1CB_1$ получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен CD):

\[A_1B_1=CD\sin\angle A_1CB_1=CD\sin\angle BCA\]

По теореме синусов для треугольника ABC имеем

\[AB=2R\sin\angle BCA\]

Следовательно,

\[A_1B_1=\frac{CD\cdot AB}{2R}\]

Таким же образом, рассматривая треугольники $B_1CC_1$ и $A_1CC_1$ получим соотношения

\[B_1C_1=\frac{BC\cdot AD}{2R},\ A_1C_1=\frac{AC\cdot BD}{2R}\]

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

\[2R(A_1B_1+B_1C_1)=C_1A_1\cdot 2R\]

или

\[C_1A_1=A_1B_1+B_1C_1\]

откуда следует, что точки $A_1,B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках AD и CD как на диаметрах. Первая из них проходит через точки $B_1$ и $C_1$ (углы $AB_1D$ и $AC_1D$ прямые), а вторая — через точки $A_1$ и $B_1$ ($\displaystyle \angle CB_1D=\angle CA_1D=\frac{\pi}{2}$). Углы $AB_1C_1$ и $A_1B_1C$ равны как вертикальные, откуда следует, что $\angle ADC_1=\angle CDA_1$, а значит, и $\angle DAC_1=\angle DCA_1$. Отсюда $\angle DAB+\angle DCB=\pi$, и вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Источник: Я. П. Понарин «Элементарная геометрия». Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости.