Теорема Менелая

Менелай Александрийский – древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: написал 6 книг о вычислении хорд и 3 книги “Сферики’’, сохранившиеся в арабском переводе. Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C₁ — точка ее пересечения со стороной AB, A₁ — точка ее пересечения со стороной BC, и B₁ — точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B₁ C₁.

Треугольники AC₁B₁ и CKB₁ подобны ( $\angle C_1AB_1=\angle KCB_1, \angle AC_1B_1=\angle CKB_1$ ). Следовательно,

$\frac{AC_1}{CK}=\frac{B_1A}{B_1C} .$

Треугольники BC₁A₁ и CKA₁ также подобны ( $\angle BA_1C_1=\angle KA_1C, \angle BC_1A_1=\angle CKA_1$ ). Значит,

$\frac{C_1B}{CK}=\frac{BA_1}{A_1C} .$

Из каждого равенства выразим CK:

$CK=\frac{AC_1\cdot B_1C}{B_1A}=\frac{C_1B\cdot A_1C}{BA_1} ,$

откуда

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 ,$

что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C1 лежит на стороне AB, точка A₁ — на стороне BC, а точка B₁ — на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .$

Тогда точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Доказательство. Заметим для начала, что $\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\ne 1$ , поскольку, по условию, это выражение равно $\displaystyle \frac{B_1A}{CB_1}\ne 1$ . Следовательно, прямые A₁C₁ и AC не параллельны.

Проведем прямую через точки C₁ и A₁. Она пересечет прямую AC в некоторой точке B₂. Для точек A₁, C₁ и B₂ справедлива теорема Менелая, так что

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_2}{B_2A}=1 .$

Отсюда следует, что

$\frac{CB_2}{B_2A}=\frac{BC_1}{C_1A}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{CB_1}{B_1A} .$

Из этого равенства следует, что обе точки B₁ и B₂ лежат на продолжении отрезка AC за одну и ту же точку, ибо правее C данное отношение меньше 1, а левее A оно строго больше 1. Пусть $CB_1=x,CB_2=y,AC=b$ . Тогда, учитывая, что $B_1A=x+b$ и $B_2A=y+b$ , перепишем полученное равенство в виде

$\frac{x}{x+b}=\frac{y}{y+b}\Leftrightarrow xy+xb=xy+yb\Leftrightarrow x=y .$

Из равенства CB₁=CB₂ следует, что B₁=B₂, и доказано, что точка B₁, совпадающая с B₂, лежит на прямой A₁C₁.

Замечание. Теоремы Менелая (прямая и обратная) верны также и в том случае, когда все три точки A₁, B₁, C₁ лежат на продолжениях сторон треугольника ABC. То есть справедлива следующая

Теорема. Пусть дан треугольник ABC. Точки A₁, B₁, C₁ лежат на продолжениях сторон BC, AC и AB соответственно. Три точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1 .$

Доказательство этой теоремы точно такое же, как и доказательство, приведенное выше.

Источники: В.В. Ткачук, “Математика абитуриенту”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.