Понятие о предмете аналитической геометрии

В элементарной геометрии решение каждой отдельной задачи требует большей или меньшей изобретательности, и часто задачи, весьма схожие друг с другом, требуют совершенно различных приемов решения.

Рассмотрим задачу: найти геометрическое место таких точек M, расстояния которых MA до данной точки A равны расстояниям MB до данной точки B. Искомое геометрическое место есть, как известно, прямая линия (перпендикуляр, проведенный через середину отрезка AB). Но способ, которым в элементарной геометрии обычно решается эта задача, не годится для следующей задачи: найти геометрическое место точек M, расстояние которых MAдо точки A вдвое больше расстояния MB до точки B.

Аналитическая геометрия, созданная одновременно двумя французскими учеными — Декартом (1596—1650) и Ферма (1601—1655) дает единообразные приемы решения геометрических задач и сводит решение широкого круга задач к немногим методически применяемым способам.

Для достижения этой цели все данные и искомые точки и линии относят к некоторой системе координат (принципиально безразлично, как ее выбрать, но удачный выбор упрощает решение задачи). Выбрав систему координат, мы можем каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию — уравнением, графиком которого эта линия, является. Этим данная геометрическая задача сводится к алгебраической, а для решения алгебраических задач мы располагаем хорошо разработанными общими методами.

Источник: М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. Москва 1986.