Комплексные числа - Историческая справка
Исторически введение комплексных чисел оказалось связанным с получением формулы вычисления корней кубичного уравнения:
\[x^3=px+q~~(1)\]
В первой трети XVI века итальянский математик Н. Тарталья показал, что корень этого уравнения всегда представляется выражением
\[x=\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}~~(2)\]
где \(u\) и \(v\) — решения системы уравнений
\[u+v=q,~u \cdot v=\big(\frac{p}{3}\big)^3~~(3)\]
Так, например, чтобы найти корень кубичного уравнения
\[x^3=9x+28\]
необходимо составить систему (3) для данного уравнения, решая которую получим: \(u=27, v=1\) и \(u=1, v=27\).
Используя, соотношение (2), находим \(x = 4\), т. е. число 4 является корнем данного уравнения.
Однако оказалось, что существуют кубичные уравнения, для которых система (3) не имеет решений в множестве действительных чисел, в то время как кубичное уравнение заведомо имеет действительный корень. Например, уравнение
\[x^3=15x+4\]
имеет действительный корень \(x = 4\), в чем легко убедиться, подставив в данное уравнение вместо \(x\) число \(4\).
Если же для данного уравнения написать систему (3), то окажется, что эта система не будет иметь решений в множестве действительных чисел.
Это непонятное тогда явление впервые объяснил итальянский математик Р. Бомбелли в 1572 г. и его объяснение, по существу, было основано на введении понятия комплексного числа и правил действий над комплексными числами.
Однако вплоть до XIX века, несмотря на то, что аппарат комплексных чисел позволил получить много важных фактов, относящихся также и к действительным числам, само существование комплексных чисел многим математикам казалось весьма сомнительным. Лишь в XIX веке после появления работ К. Гаусса, в которых давалось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел (как точек или векторов на плоскости), существование комплексных чисел стало общепризнанным фактом.
Упомянем еще один факт, который также приводит к мысли о необходимости расширения множества действительных чисел до множества комплексных чисел. Как известно, натуральная степень любого действительного числа опять будет действительным числом. Однако операция извлечения корня (обратная операции возведения в степень) не всегда выполнима в множестве действительных чисел: не существует действительного числа \(a\), четная степень которого была бы отрицательным числом. Другими словами, в множестве действительных чисел не существует числа, которое было бы корнем уравнения
\[x^n=b,\]
где \(n\) — четное число, а \(b\) — отрицательное действительное число.
Следуя общему плану расширения числовых областей, как это уже неоднократно делалось (например, при введении понятий отрицательных чисел и рациональных чисел), множество действительных чисел можно расширить до множества чисел, которое будет замкнуто относительно операции извлечения корня.
Забегая вперед, заметим, что при этом попутно получается существенно новый результат и для тех случаев, когда операция извлечения корня выполнима в множестве действительных чисел.
Один из способов построения множества комплексных чисел заключается в том, что множество действительных чисел расширяется путем присоединения к множеству действительных чисел нового числового объекта — корня уравнения
\[x^2+1=0.\]
Полученное «расширенное» множество называется множеством комплексных чисел.
Источник: А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».
