Как решать задачи на движение по течению и против (6 класс)
Главное правило: по течению скорость увеличивается — прибавляем скорость течения; против течения уменьшается — вычитаем. Затем используем обычную формулу движения: \(S=v\cdot t\).
Формулы и таблица
Обозначим:
-
\(v\) — собственная скорость лодки, то есть её скорость в стоячей воде;
-
\(u\) — скорость течения;
-
\(S\) — расстояние;
-
\(t\) — время.
| Направление движения | Скорость | Расстояние | Время |
|---|---|---|---|
| По течению | \(v+u\) | \(S=(v+u)\cdot t\) | \(t=\dfrac{S}{v+u}\) |
| Против течения | \(v-u\) | \(S=(v-u)\cdot t\) | \(t=\dfrac{S}{v-u}\) |
Течение помогает лодке двигаться по реке и мешает двигаться обратно — поэтому в первой строке стоит «плюс», а во второй «минус». Для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения.
Три основные формулы движения:
\[S=v_{\text{движения}}\cdot t,\qquad t=\frac{S}{v_{\text{движения}}},\qquad v_{\text{движения}}=\frac{S}{t}.\]
Здесь \(v_{\text{движения}}\) — скорость с учётом течения, а не собственная скорость лодки.
Как решать задачу
-
Выпиши известные величины и то, что нужно найти.
-
Проверь единицы: если скорость дана в км/ч, расстояние должно быть в километрах, а время — в часах.
-
Сделай две строки таблицы: «по течению» и «против течения».
-
Найди скорости: \(v+u\) и \(v-u\).
-
Используй формулу расстояния или времени. Если есть неизвестное — обозначь его буквой и составь уравнение.
Пример с уравнением для 6 класса
Условие: катер проходит расстояние между двумя городами по течению за 5 часов, а против течения — за 6 часов. Скорость течения — 2 км/ч. Найти собственную скорость катера.
Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера. Заполним таблицу:
| Направление | Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км |
|---|---|---|---|
| По течению | \(x+2\) | 5 | \(5(x+2)\) |
| Против течения | \(x-2\) | 6 | \(6(x-2)\) |
Расстояние между городами одинаковое в обе стороны, поэтому приравниваем выражения из последнего столбца:
\[5(x+2)=6(x-2).\]
Раскрываем скобки и решаем:
\[5x+10=6x-12,\]
\[10+12=6x-5x,\]
\[x=22.\]
Ответ: собственная скорость катера — 22 км/ч. Проверка: по течению он проходит \(24\cdot5=120\) км, а против течения — \(20\cdot6=120\) км. Расстояния совпали.
Если известны обе скорости
Когда в задаче даны скорости по течению и против течения, можно сразу найти:
\[v_{\text{собственная}} =\frac{v_{\text{по течению}}+v_{\text{против течения}}}{2},\]
\[v_{\text{течения}} =\frac{v_{\text{по течению}}-v_{\text{против течения}}}{2}.\]
Разность скоростей делят на два, потому что течение один раз прибавили к собственной скорости, а другой раз вычли.
