Как проверять делимость на 3, 4, 9 и 11 без калькулятора

Проверить делимость — значит узнать, делится ли число без остатка. Для 3 и 9 нужно сложить цифры, для 4 — посмотреть на последние две, а для 11 — сравнить суммы цифр через одну.

Краткая памятка

На что делим	Правило
На 3	Сумма всех цифр делится на 3.
На 4	Число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4. Окончание 00 тоже подходит.
На 9	Сумма всех цифр делится на 9.
На 11	Разность сумм цифр на нечётных и чётных местах равна 0 или делится на 11.

Все четыре признака позволяют проверить делимость, не выполняя деление исходного числа.

Делимость на 3: сложите все цифры

Если полученная сумма делится на 3, то и исходное число делится на 3. Если сумма большая, можно ещё раз сложить её цифры.

$12345$: $1+2+3+4+5=15$. Число 15 делится на 3 — значит, 12345 тоже делится.
$502$: $5+0+2=7$. Число 7 не делится на 3 — значит, 502 тоже не делится.

Делимость на 4: проверьте последние две цифры

Смотрите на них как на одно число, а не проверяйте каждую цифру отдельно. Остальные цифры не влияют на результат.

$7316$: последние две цифры образуют 16; $16:4=4$ — число делится на 4.
$5822$: окончание 22 не делится на 4 — всё число тоже не делится.
$1900$: окончание 00 — число делится на 4.
$1208$: окончание 08 означает 8; $8:4=2$ — число делится на 4.

Это примеры применения признака по последним двум цифрам.

Делимость на 9: снова сложите все цифры

Действуйте так же, как для 3, но проверяйте, делится ли сумма именно на 9.

$1296$: $1+2+9+6=18$. Число 18 делится на 9 — значит, 1296 делится на 9.
$123$: $1+2+3=6$. Число 6 не делится на 9 — значит, 123 не делится на 9, хотя делится на 3.

Важно: любое число, делящееся на 9, делится и на 3. Обратное неверно.

Делимость на 11: складывайте цифры через одну

Сложите цифры на 1-м, 3-м, 5-м и следующих нечётных местах.
Отдельно сложите цифры на 2-м, 4-м, 6-м и следующих чётных местах.
Из большей суммы вычтите меньшую.
Если получилось 0, 11, 22, 33 и так далее, число делится на 11.

Например, проверим $2728$:

Нечётные места: $2+2=4$.
Чётные места: $7+8=15$.
Разность: $15-4=11$.

Получилось 11 — значит, $2728$ делится на 11. Так применяется правило разности сумм.

Ещё два примера:

$1331$: $(1+3)-(3+1)=0$ — делится на 11.
$1234$: $(2+4)-(1+3)=2$ — не делится на 11.

Ноль тоже подходит; считать позиции можно как слева, так и справа — результат проверки не изменится.