Извлечение квадратного корня в столбик
Когда-то уже довольно давно, когда я училась классе в восьмом, моя учительница математики на кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))
Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.
Возьмем число 56789, 321 (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).
1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем 5`67`89, 32`1.
2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева – в нашем случае это 5 (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число 2. Записываем 2 в ответ – это старшая цифра корня.
3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это 2 — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр – из числа 5. В нашем случае остается 1.
4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: 167. Число 2, которое уже стоит в ответе, умножаем на 2, получаем 4.
5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу 4 справа приписать одну цифру b, и число 4b умножить на b, то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к 167, но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра 3, ее записываем в ответ рядом с 2, справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.
6. Из 167 вычитаем произведение 43*3=129, получаем 38.
7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к 38 справа следующую группу цифр 89, 23 умножаем на 2, к полученному числу 46 приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее 3889, но наиболее близкое к нему – это цифра 8 – следующая цифра в десятичной записи корня.
8. Далее у нас в числе стоит десятичная точка, ставим такую же в результате после цифры 8. Продолжаем процесс, снося по две цифры после точки. Ясно, что можно сносить и два нуля.
Вычисления запишутся следующим образом:
А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле
Первый раз вычитаем квадрат, дальше, приписывая по одной цифре к результату, к числу под корнем, тем самым, приписываем две десятичных цифры. Отсюда разбиение на пары (видно из формулы). Вычтя квадрат, необходимо вычитать дальше числа вида (20a + b)b, где 2a – удвоенный известный на данный момент результат, приписывая к нему цифру, получаем 20a + b, умножаем на эту же самую цифру, имеем (20a + b)b. Вот и все!
