Интересное выражение для пи
Используем в знаменателях треугольные числа и получаем, что
\[\pi - 2 = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}-\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} - \ldots\]
Треугольными числами называются числа вида \[\frac{n(n+1)}{2}.\] Это название связано с тем, что n-е такое число равно числу кругов в правильном треугольнике, сторона которого содержит n кругов.
Обратите внимание на то, что за двумя положительными слагаемыми следуют два отрицательных и т. д., что довольно необычно.
Доказательство выглядит следующим образом. Пусть A — сумма слагаемых, стоящих на нечетных местах и B — сумма всех остальных слагаемых, то есть:
\[A=\frac{1}{1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{15} - \ldots ,\]
\[B = \frac{1}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{21} - \ldots\]
Иначе
\[A= \frac{2}{1 \cdot 2} - \frac{2}{3 \cdot 4} +\frac{2}{5\cdot 6} -\frac{2}{7\cdot 8} + \ldots ,\]
что в свою очередь равно
\[A=\left(\frac{2}{1} - \frac{2}{2}\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{2}{5} - \frac{2}{6}\right) - \left(\frac{2}{7} - \frac{2}{8}\right) + \ldots\]
Если мы теперь сгруппируем члены с четными знаменателями, получим
\[- \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} -\frac{1}{5} +\frac{1}{6} - \ldots ,\]
что равно - ln 2 в соответствии с известным разложением
\[\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{х^4}{4} +\frac{x^5}{5} - \ldots\]
Сумма членов с нечетными знаменателями равна
\[\frac{2}{1} -\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{7} + \frac{2}{9} - \frac{2}{11} + \ldots ,\]
что равно Pi/2, в соответствии с хорошо известным разложением для Pi (ряд Лейбница). Поэтому
\[A= \frac{\pi}{2} - \ln 2.\]
Ну а теперь вернемся к B. Имеем
\[B =\frac{2}{2\cdot 3} - \frac{2}{4 \cdot 5} + \frac{2}{6 \cdot 7} -\frac{2}{8\cdot 9} + \ldots ,\]
что равно
\[B = \left( \frac{2}{2} -\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{2}{4} - \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{6} - \frac{2}{7}\right) - \left(\frac{2}{8} - \frac{2}{9}\right) + \ldots\]
Объединив члены с четными знаменателями, получим
\[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} +\frac{1}{7} - \ldots =\ln 2 .\]
Сумма членов с нечетными знаменателями равна
\[-\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{7} + \frac{2}{9} -\frac{2}{11} +\frac{2}{13} - \frac{2}{15} + \ldots=\frac{\pi}{2}-2 .\]
Тем самым \[B = \frac{\pi}{2} - 2 + \ln 2.\]
Теперь давайте все сложим.
\[A + B = \frac{\pi}{2} - \ln 2 + \frac{\pi}{2} - 2 + \ln 2 = \pi - 2.\]
Очень красиво, не правда ли?
