И еще об умножении

О некоторых способах умножения чисел уже рассказывалось здесь. Вообще говоря, известно довольно много способов умножения чисел. Лука Пачиоли, итальянский математик, живший в конце XV — начале XVI века, в своей книге об арифметике приводит восемь таких способов. Один из них, называющийся “маленький замок’’ и похожий на всем нам знакомое умножение столбиком, состоит в следующем.

1. Числа записываются друг под другом.
2. Цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочередно умножаются на нижнее число и полученные результаты записываются в столбик.
3. При умножении на следующую цифру полученный результат записывается со сдвигом на одну цифру вправо.
4. К верхним числам столбика приписываются нули справа так, чтобы последний разряд у всех чисел совпадал.
5. Результаты складываются.

Вот пример такого умножения.



\[3615\cdot972=3513780 .\]

Этот способ хорошо применять, если нужно провести прикидочный расчет, и важны цифры старших разрядов результата. Они при вычислениях данным методом определяются с самого начала.

А вот еще один способ, им пользовались русские крестьяне (забавно, что недавно нашла страничку в Интернете, автор которой приписывает этот метод себе ;) , хотя, возможно, он его переоткрыл). Интересно, что для вычислений этим методом не нужно знать таблицу умножения. Используется здесь только умножение и деление на 2.

1. Два числа, которые нужно перемножить, записывают рядом.

2. На каждом шаге левое число делят на 2, отбрасывая остаток, а правое умножают на 2.

3. Заканчивается процесс, когда слева будет получена 1.

4. Вычеркивают все строки, в которых в левой колонке стоят четные числа.

5. Все числа, оставшиеся в правой колонке после вычеркивания, складывают. Полученная сумма и будет равна произведению исходных чисел.

Вот пример использования данного метода. Перемножим снова 3615 и 972:



Результат тот же, что и полученный предыдущим способом:

\[3615\cdot972=3513780 .\]

А теперь объясню, почему метод работает. Давайте запишем произведение двух чисел в двоичной системе счисления (здесь a_0,\ldots,a_n,b_0,\ldots,b_m — двоичные цифры, то есть либо 0, либо 1):

\[A=(a_0\cdot2^n+a_1\cdot2^{n-1}+\ldots+a_{n-1}\cdot2+a_n)\cdot(b_0\cdot2^m+b_1\cdot2^{m-1}+\ldots+b_m) .\]

Результат не изменится, если первое число поделить на 2, а второе — умножить на 2. Если мы это сделаем, учитывая, что a_n может быть равно единице, получим:

\[A=(a_0\cdot2^{n-1}+a_1\cdot2^{n-2}+\ldots+a_{n-1})\cdot(b_0\cdot2^{m+1}+b_1\cdot2^{m}+\ldots+b_m\cdot2)+a_n\cdot(b_0\cdot2^m+b_1\cdot2^{m-1}+\ldots+b_{m-1}\cdot2+b_m) .\]

И отсюда сразу же следует данный метод.

Источник: Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика, М.: АСТ, 1996.