Гиппопеда Евдокса
Евдокс Книдский
Евдокс Книдский был греческим философом, астрономом, математиком и врачом, учеником Платона. Ни одна из его работ не сохранилась до наших дней, все ссылки, с которыми мы имеем дело, — из вторичных источников. Евдокс родился в Книде (в настоящее время эта территория принадлежит Турции), около 400 г. до н.э.
Основными достижениями Евдокса являются введение астрономических сфер, что дало достаточно хорошую модель движения планет (в астрономии), и работы по теории отношений и вычислению площадей и объемов методом исчерпывания, им же созданным (в математике). В этой статье мы поговорим о кривой, введенной Евдоксом: гиппопеде.
Гиппопеда Евдокса
Рассмотрим сферу с центром O, которая вращается вокруг оси ON. Возьмем точку M, которая закреплена на сфере и вращается вместе с ней, и точку P — точку пересечения больших окружностей сферы, лежащих в плоскостях, перпендикулярных ON и OM. Если во время вращения сферы точка H отделится от точки P и будет двигаться по большой окружности в плоскости, перпендикулярной OM с той же угловой скоростью, что и сфера, но в противоположном направлении, то она опишет в пространстве кривую в форме восьмерки.
Согласно Симплицию, комментатору Аристотеля, жившему в шестом веке, и интерпретации Скиапарелли, Евдокс эту кривую назвал гиппопедой (примеч. так как по форме она схожа с лошадиными путами).
Если R — точка в пространстве, в которой во время движения совпадают P и H, то угол ∠POR всегда равен углу ∠POH.
Скиапарелли отметил, что гиппопеда является пересечением сферы с цилиндром, который внутренним образом касается сферы в точке R, и что она также является пересечением сферы с конусом, ось которого касается сферы в точке R и параллельна ON. Он привел элементарное доказательство этих фактов, но доказательство, приведенное ниже, еще проще.
Остановим вращение сферы, но позволим продолжать двигаться точке H по своей большой окружности (окружность PBS на рисунке), удаляясь от P. Если в то же время, когда точка H выходит из P, из P выйдут еще две точки — R и T, движущиеся по большой окружности, перпендикулярной ON (окружность PAS на рисунке), в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью (равной угловой скорости H, с которой она движется по своей окружности), плоскость, в которой находятся R, H и T в каждый момент времени, будет параллельна плоскости, касательной к сфере в точке P.
Эта плоскость пересекает сферу по окружности диаметром RT и, следовательно, угол ∠RHT прямой. Тогда углы ∠HTR и ∠HRT в сумме дают π/2. Если FR — перпендикуляр к плоскости PAS, то углы ∠FRH и ∠HRT в сумме тоже дают π/2, откуда заключаем, что углы ∠FRH и ∠HTR равны.
Но угол ∠HTR, вписанный в окружность диаметра RT, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, а это угол между плоскостями PAS и PBS.
Таким образом, угол между прямыми FR и HR не изменяется. И так как треугольники HRT в своих различных положениях подобны, отношение RC/RT, где C — основание перпендикуляра, опущенного из H на RT, постоянно.
Если теперь будем поворачивать сферу вокруг оси ON с угловой скоростью, равной угловой скорости точки P, но в противоположном направлении, точка R будет фиксирована в пространстве в положении, которое занимала точка P, а точка H опишет гиппопеду. Так как угол между FR и HR постоянный, HR является образующей конуса с осью FR, и так как отношение RC/RT постоянно, точка C описывает кривую, которая является результатом применения гомотетии с центром R к кривой, которую описывает точка T, т.е. окружностью. И так как гиппопеда проектируется на эту окружность, она лежит на цилиндре.
Как следствие получаем, что кривая, по которой пересекаются цилиндр и конус с осью, являющейся образующей цилиндра, — гиппопеда Евдокса и, следовательно, кривая, лежащая на сфере.
В реконструкции Скиапарелли астрономической теории гомоцентрических сфер Евдокса движение планеты по гиппопеде, которое образуют две внутренние области (из 4‑х областей для каждой планеты), служит для объяснения нерегулярных движений планет, т.е. движений назад, которые наблюдаются в траекториях планет, видимых с Земли на фоне неподвижных звезд.
