Делимость чисел

Из всех действий арифметики самое своенравное — это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, особым «нравом». Возьмем хотя бы обращение с нулем. Для всех других арифметических действий нуль — равноправное число. Его можно и прибавлять и вычитать; оно может быть множителем в действии умножения, но делителем никогда. Разделить на нуль вообще нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение. Это — важная особенность деления, и если к ней отнестись невнимательно, то легко попасть впросак; можно, скажем, «доказать» любое заведомо фальшивое утверждение — «парадокс».

Как вы отнесетесь, например, к такому утверждению.

Всякое количество равно своей, половине.

«Доказательство». Пусть a и b — два равных количества: a = b. Умножим обе части этого равенства на a:

a² = ab.

Теперь уменьшим на b² и левую и правую части равенства. Получившиеся разности а² — b² и ab — b² тоже будут равными:

а² — b² = ab — b².

Разложим на множители:

(а + b) (а – b) = b(а – b).

Делим обе части равенства на а – b, после чего получается такое равенство:

а + b = b.

Так как b = а, то в последнем равенстве можем заменить b через a, тогда a + a = a, или 2a = a. Разделив на 2, получим a = a/2, а это значит, что целое равно своей половине (?).

Внешне, или, как говорят, «формально» все правильно, а по существу где-то в приведенных выкладках есть дефект. Вы, конечно, были внимательны и заметили, в какой части преобразований имеется изъян.

«Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю. Математическая теория уделяет много внимания свойствам целых чисел и законам, управляющим действиями над ними. Так вот, если ограничиться множеством одних только целых (положительных и отрицательных) чисел, то опять-таки «капризничает» только одно действие: деление. Оно, как вы знаете, не всегда выполнимо в области целых чисел. Принято считать так, что целое число a делится на целое число b, если среди целых же чисел найдется такое число c, произведение которого на b дает точно число a; если же такого числа нет, то a не делится на b.

Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, наибольший общий делитель (Н. О. Д.), наименьшее общее кратное (Н. О. К.), признаки делимости чисел, а постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел.

Источник: Математическая смекалка. Б.А. Кордемский. Москва, 1956.