Деление многочленов в столбик
Барицентром называется центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек.
Напомню, что для точек пространства M1, M2, …, Mn, положение которых определяется радиус-векторами r1, r2, …, rn с массами m1, m2, …, mn соответственно радиус-вектор их центра тяжести находится по формуле:
Барицентрические координаты — координаты точки относительно системы координат, начало которой находится в центре тяжести системы. Впервые барицентрические координаты ввёл Мёбиус в 1827 году, рассматривая задачу, какие массы нужно поместить в вершины данного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты — первые однородные координаты.
Так вот, собственно, барицентрические координаты вводятся следующим образом (мы рассмотрим барицентрические координаты на плоскости). Пусть на плоскости введены декартовы координаты Oxy. Рассмотрим какие-либо три различные точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3), не лежащие на одной прямой, и произвольную данную точку M(x, y). Выясним, существуют ли такие три числа m1, m2 и m3, удовлетворяющие условию:
что точка M(x, y) будет центром тяжести точек M1, M2, M3 с массами m1, m2, m3 соответственно. Данная задача сводится к вопросу об однозначной разрешимости системы линейных уравнений:
Здесь первое уравнение — это условие на массы точек, а последние два — уравнения центра тяжести в координатах с учётом этого условия.
Первое уравнение умножим на x1 и вычтем из второго, а затем умножим его на y1 и вычтем из третьего. Получим:
Если
то точки M1, M2 и M3 лежат на одной прямой, поскольку в этом случае векторы r2 − r1 и r3 − r1 коллинеарны, так как их координаты пропорциональны.
Значит,
Из третьего уравнения, домноженного на x2 − x1, вычтем первое, домноженное на y2 − y1, и найдём m3:
Аналогично находим:
Находим:
Аналогично вводятся барицентрические координаты в пространстве.
Применяются барицентрические координаты в различных химических и топологических задачах. Интересно их применение в колориметрии. Любой цвет может быть представлен смешением трёх цветов. В 1931 году Международная осветительная комиссия (МОК) приняла в качестве основных три цвета: красный R, зелёный G и синий B с длинами волн соответственно λ = 700 нм, λ = 546,1 нм и λ = 435,8 нм.
При смешении цветов R, G и B можно, в частности, получить и белый цвет.
Приняты различные стандарты «белизны». Если смешать с равными интенсивностями, то есть освещённостями, скажем, по 1 люмену, красный цвет R, зелёный G и синий B, то получится цвет синего оттенка. В качестве стандартного белого цвета (обозначается буквой E) принят цвет, который получается от смешения цвета R с освещённостью в 1 люмен с 4,5907 люмена цвета G и с 0,0601 люмена цвета B.
Мы можем теперь наглядно изобразить цвета, получаемые от смешения трёх цветов R, G, B. Выберем на плоскости какой-нибудь треугольник и вершины его обозначим буквами R, G, B — в соответствии с основными цветами. Если некоторый цвет возник при смешении r «единиц» цвета R, g «единиц» цвета G и b «единиц» цвета B, причём
то можно этому цвету сопоставить точку F, имеющую барицентрические координаты (r; g; b). При этом надо условиться, что считать «единицей» того или иного цвета. В соответствии со сказанным выше за «единицу» принимают такие интенсивности цветов R, G и B, которые соответствуют освещённости соответственно в 1, 4,6 и 0,06 люмена.
Эти координаты называют в колориметрии координатами цветности, или трёхцветными координатами. В частности, стандартный белый цвет E имеет барицентрические координаты — координаты цветности:
