Быстрое умножение на 11 и 12 (система быстрого счета Якова Трахтенберга)

Яков Трахтенберг был еврейско-русским математиком, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Без сомнения, занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие, хотя она учит также и некоторым другим методам. Надо сказать, что позже Трахтенберг сбежал из концлагеря в Швейцарию, а потом, в 1950 году, основал в Цюрихе Математический институт, в котором преподавал свой метод.

Имеется несколько изданий книги о системе Трахтенберга, на рисунке приведена обложка одного из них, на английском языке. А вот русское издание 1967 года: Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу.

Давайте рассмотрим, как Трахтенберг предлагает умножать числа на 11 и на 12. Что касается умножения на 11 двухзначных чисел, то способ этот мне был известен уже довольно давно, кстати, он приводится в книге И.Я. Депмана , Н.Я. Виленкина “За страницами учебника математики”. Записываем цифры результата справа налево. Первая цифра та же, что и у исходного числа. Далее добавляем к цифре ее соседа справа. Если сумма получается больше или равна 10, то запоминаем число десятков, которое добавим к следующей сумме.

Примеры. Умножим 1,4326 на 11:

  (1+0)(1+4),(4+3)(3+2)(2+6)6=15,7586.

Умножим 87,256 на 11:

  (8+1)(8+7-10)(7+2),(2+5+1)(5+6-10)6=959,816.

Напишу подробнее, поскольку в этом примере, в отличие от предыдущего, приходится запоминать цифры. Итак, справа записываем самую правую цифру числа 87,256 — это 6. Двигаемся левее, туда мы должны записать 5+6=11 — тем самым, запоминаем 1, а 1 записываем. Следующая цифра –– это 2+5 с добавлением той единички, которую запомнили, итого 8. Еще шаг влево: 7+2, записываем 9. Следующая цифра 8+7=15 — следовательно, записываем 5, а 1 запоминаем. Еще левее получаем 0+8+1=9. Десятичную запятую ставим, отсчитав 3 цифры справа. Вот и все. Достаточно легко. И получается метод этот довольно легко из того, что 

Умножение на 12 производится примерно так же. Каждую цифру числа удваиваем и прибавляем к результату соседа исходной цифры справа. Доказательство метода такое же, как и для умножения на 11.

Примеры. Умножим 346 на 12.

Начнем с самой правой цифры — это 6. Удвоим 6 и добавим соседа (его нет в данном случае). Получаем 12. Запишем 2 и запомним 1.

Перейдем влево к следующей цифре 4. Удвоим 4, получим 8, добавим соседа, 6, получим 14, прибавим 1, которую запоминали, получим 15. Запишем 5 и запомним 1.

Перейдем влево к следующей цифре, 3. Удвоим 3, получим 6. Добавим соседа, 4 и получим 10. Прибавим 1, которую запоминали, получим 11. Запишем 1 и запомним 1.

Перейдем влево к несуществующей цифре — нулю. Удвоим его, получим 0 и добавим соседа, 3, что даст нам 3. Наконец, добавим 1, которую запоминали, получим 4. Запишем 4.

Ответ: 4152.

Еще один пример.

Довольно быстро получается умножать числа, если немного потренироваться!