Барицентрические координаты

Барицентром называется центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек.

Напомню, что для точек пространства M₁, M₂, …, M_n, положение которых определяется радиус-векторами r₁, r₂, …, r_n с массами m₁, m₂, …, m_n соответственно радиус-вектор их центра тяжести находится по формуле:

Барицентрические координаты — координаты точки относительно системы координат, начало которой находится в центре тяжести системы. Впервые барицентрические координаты ввёл Мёбиус в 1827 году, рассматривая задачу, какие массы нужно поместить в вершины данного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты — первые однородные координаты.

Так вот, собственно, барицентрические координаты вводятся следующим образом (мы рассмотрим барицентрические координаты на плоскости). Пусть на плоскости введены декартовы координаты Oxy. Рассмотрим какие-либо три различные точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃, y₃), не лежащие на одной прямой, и произвольную данную точку M(x, y). Выясним, существуют ли такие три числа m₁, m₂ и m₃, удовлетворяющие условию:

что точка M(x, y) будет центром тяжести точек M₁, M₂, M₃ с массами m₁, m₂, m₃ соответственно. Данная задача сводится к вопросу об однозначной разрешимости системы линейных уравнений:

Здесь первое уравнение — это условие на массы точек, а последние два — уравнения центра тяжести в координатах с учётом этого условия.

Первое уравнение умножим на x₁ и вычтем из второго, а затем умножим его на y₁ и вычтем из третьего. Получим:

Если

то точки M₁, M₂ и M₃ лежат на одной прямой, поскольку в этом случае векторы r₂ − r₁ и r₃ − r₁ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны.

Значит,

Из третьего уравнения, домноженного на x₂ − x₁, вычтем первое, домноженное на y₂ − y₁, и найдём m₃:

Аналогично находим:

Находим:

Аналогично вводятся барицентрические координаты в пространстве.

Применяются барицентрические координаты в различных химических и топологических задачах. Интересно их применение в колориметрии. Любой цвет может быть представлен смешением трёх цветов. В 1931 году Международная осветительная комиссия (МОК) приняла в качестве основных три цвета: красный R, зелёный G и синий B с длинами волн соответственно λ = 700 нм, λ = 546,1 нм и λ = 435,8 нм.

При смешении цветов R, G и B можно, в частности, получить и белый цвет.

Приняты различные стандарты «белизны». Если смешать с равными интенсивностями, то есть освещённостями, скажем, по 1 люмену, красный цвет R, зелёный G и синий B, то получится цвет синего оттенка. В качестве стандартного белого цвета (обозначается буквой E) принят цвет, который получается от смешения цвета R с освещённостью в 1 люмен с 4,5907 люмена цвета G и с 0,0601 люмена цвета B.

Мы можем теперь наглядно изобразить цвета, получаемые от смешения трёх цветов R, G, B. Выберем на плоскости какой-нибудь треугольник и вершины его обозначим буквами R, G, B — в соответствии с основными цветами. Если некоторый цвет возник при смешении r «единиц» цвета R, g «единиц» цвета G и b «единиц» цвета B, причём

то можно этому цвету сопоставить точку F, имеющую барицентрические координаты (r; g; b). При этом надо условиться, что считать «единицей» того или иного цвета. В соответствии со сказанным выше за «единицу» принимают такие интенсивности цветов R, G и B, которые соответствуют освещённости соответственно в 1, 4,6 и 0,06 люмена.

Эти координаты называют в колориметрии координатами цветности, или трёхцветными координатами. В частности, стандартный белый цвет E имеет барицентрические координаты — координаты цветности: